两角和与差的正弦函数怎么推导出来的 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

两角和与差的正弦函数怎么推导出来的 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

俊狼猎英团队为您解答：两角和的正弦与余弦公式：（1）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（2）cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；教材的思路是在直角坐标系的单位圆中，根据两点间的距离公式推导：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；再用诱导公式证明：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；如图所示：∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（α+β），sin（α+β）]。∵OA=OB=OC=OD=1∴CD=AB。∵CD2=[cos（α+β）-1]2+[sin（α+β）-0]2；=cos2（α+β）-2cos（α+β）+1+sin2（α+β）；=2-2cos（α+β）。AB2=（cosα-cosβ）2+（sinα+sinβ）2；=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+sin2β；=2-2[cosαcosβ-sinαsinβ]。∴2-2cos（α+β）=2-2[cosαcosβ-sinαsinβ]。∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ∴sin（α+β）=cos（90°-α-β）=cos[（90°-α）+（-β）]=cos（90°-α）cos（-β）-sin（90°-α）sin（-β）=sinαcosβ+cosαsinβ